Cómo hacer una ecuación de primer grado

El objetivo, dejar la 'x' en un lado de la ecuación para despejar su valor.

1Agrupar la incógnita.

El primer paso será agrupar en un lado del = todos los términos que tengan la incógnita y juntar en el otro todos los términos en los que no aparece. Para hacer esta trasposición los signos que van delante de cada número cambia. Así, el que está sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un lado pasa al otro dividiendo, y viceversa.
Ejemplo: 5x-9-104+20x=45-6+5x
Trasposición: 5x+20x-5x=45-6+9+104

2Despejar cada lado.

Una vez hecho esto se hacen las operaciones de cada lado. Al final en uno de los lados quedará un número multiplicando a la incógnita, y al otro lado del igual quedará solamente un número.
Resolver: (5+20-5)x=45-6+9+104 / 20x=152

3Resolverlo.

Para despejar la incógnita, el número que multiplica a la 'x' pasa al otro lado dividiendo. Siguiendo nuestro ejemplo, x=152/20, por lo que x=7,6.

El espirógrafo

Un espirógrafo es un instrumento que sirve para dibujar hipotrocoides y epitrocoides. Consta de una serie de ruedas dentadas de distintos tamaños, cada una de las cuales tiene varios orificios situados a distintas distancias del centro por los cuales se hace pasar la punta de un lápiz o un esferográfico. Consta también de unos aros dentados de distintos tamaños (Figura 1). Para dibujar una hipotrocoide se fija en el papel uno de los aros dentados mediante alfileres y luego se hace rodar al interior de él una de las  ruedas dentadas con la ayuda de la punta del lápiz o el esferográfico (Figura 2). Para dibujar una epitrocoide se hace lo mismo pero la rueda dentada se hace girar por el exterior del aro dentado.

Pero los espirógrafos también pueden hacerse para computador. A continuación se incluye un programa que fue desarrollado enJava por el autor de esta página y que sirve para dibujar hipotrocoides y epitrocoides. Para utilizarlo basta con hacer clic en alguna de las casillas del selector de colores y oprimir después el botón “Pintar”. ¡Después es sólo cuestión de utilizar la imaginación y divertirse en grande!

Figura 1: Conjunto de ruedas y aros dentados que forman un espirógrafo (Fotografía del autor).

Figura 2: Dibujando una hipotrocoide mediante un espirógrafo (Fotografía del autor). Instrucciones ·         Elija “Hipotrocoide” o “Epitrocoide” para seleccionar la trocoide que quiere dibujar. ·         Arrastre con el ratón los pequeños cuadros anaranjados que aparecen en el panel situado arriba a la derecha para graduar a su antojo el valor de las constantes a, b y c de la trocoide elegida. ·         Oprima el botón “Vista previa” para ver qué forma va a tener la curva que desea dibujar. ·         Gradúe el grosor de la línea con el control “Grosor”. ·         Gradúe la velocidad del trazo con el control “Tiempo”. ·         Emplee el control “Detalle” para graduar la cantidad de puntos que se emplean al trazar una curva. ·         Seleccione un color haciendo clic en alguna de las casillas del selector de color. ·         Oprima el botón “Borrar” para adoptar un color de fondo. ·         Oprima el botón “Con puntos”, “Sin puntos” para que el trazo tenga puntos o no los tenga. ·         Oprima el botón “Con línea”, “Sin línea” para que el trazo tenga línea o no la tenga. ·         Oprima el botón “Parar” para detener el trazo. ·         En el área central aparece una casilla con el color del trazo y un testigo que está en rojo si el espirógrafo está dibujando y aparece en blanco si está detenido. ·         Para grabar el dibujo realizado, utilice la tecla “Imprimir pantalla” o emplee alguno de los programas que capturan la pantalla. Luego pegue la imagen de toda la pantalla en un programa de dibujo como Paint, corte el área que corresponde al dibujo y grábela en un archivo. El programa Espirógrafo es un applet de Java que se transmite por Internet y por lo tanto no puede tener ninguna opción para grabar directamente el dibujo realizado en su computador.

La epitrocoide

La epitrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse por fuera de un círculo fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego, ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo, ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición que significa ‘encima de’. El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantes a, b y c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.

Las epitrocoides, como la hipotrocoides, también forman un universo de una gran variedad. Basta con hacer algunas pruebas con los valores de las constantes a, b y c para caer en cuenta de ello. 

Ecuaciones paramétricas de la epitrocoide.

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la epitrocoide podemos proceder de manera muy semejante a como hicimos para obtener las de la hipotrocoide. Comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo fijo, tal como se ve en la Figura 1, en la que se representa la situación que se produce poco después de que el círculo móvil comienza a girar. 

La hipotrocoide

La hipotrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse dentro de un círculo más grande y fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición  que significa ‘debajo de. Se entiende entonces que . El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantesa, b y c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja. La forma particular de una hipotrocoide depende de los valores de estas constantes y basta con hacer algunas pruebas para darse cuenta de que la combinación de estos valores da lugar a una variedad casi inagotable de configuraciones. Por ejemplo, la hipotrocoide puede ser semejante a una flor, como con ,  y , pero puede tener más bien la forma de un anillo o un aro como con ,  y . También puede parecerse a una estrella como con ,  y . Por otro lado, la hipotrocoide puede cerrarse después de dar muchas vueltas como con ,  y  o puede cerrarse después de pocas vueltas como con ,  y . En el caso  el punto que traza la hipotrocoide está situado en el borde del círculo móvil que rueda dentro del círculo fijo y por lo tanto la curva presenta los picos característicos de una cicloide. Por eso se prefiere en esta situación llamarla hipocicloide. Un caso especial de hipocicloide se produce cuando . Se trata de una conocida curva parecida a una estrella de cuatro puntas que se llama astroide en la literatura matemática. El lector puede construirla graduando por ejemplo los valores de las constantes así: ,  y . Pero ahora, si se toma ,  ¡el resultado es un segmento de recta!

Ecuaciones paramétricas de la trocoide.  Para obtener las ecuaciones paramétricas de la hipotrocoide comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo grande y fijo, tal como se ve en la Figura 1. La posición del punto   que se emplea para trazar la trocoide es el resultado de sumar la posición del centroP del círculo pequeño y móvil respecto del origen de las coordenadas O, posición que está dada por el vector   y la posición del punto Q respecto del centro P del círculo pequeño, que está dada por el vector . De esta manera, tenemos: . Ahora bien, como el radio del círculo grande es a y el radio del círculo pequeño es b, entonces: . Por lo tanto,  y si despejamos s, tenemos: . Combinando todo lo anterior, llegamos a las ecuaciones buscadas que son: